Fondamenti della meccanica atomica
da cui
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da cui
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da cui, derivando due volte,
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da cui, integrando
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e da altre due formule analoghe, ed inoltre le quantità definite, analogamente alla (63), da
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Da Questa e dalla (107) si ricava
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La (133) è stata scritta per il caso di autovalori discreti. Se invece gli autovalori della (131') costituiscono uno spettro continuo da ad , la
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in cui i coefficienti sono indipendenti dall'indice n: perciò questa equazione è soddisfatta da tutte le componenti e dunque anche da qualsiasi loro
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da cui:
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e similmente l'indeterminazione nell'impulso da
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La u sarà data dunque da
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da cui si ricava
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Le considerazioni del § precedente costituiscono il fondamento di una notevole teoria ideata da GAMOW e, indipendentemente, da GURNEY e CONDON, per
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In questo capitolo studieremo la meccanica ondulatoria di una particella, togliendo la restrizione del capitolo precedente che tutto dipenda solo da
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con costanti e legate da
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e quindi da mediante
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In questa equazione il primo e l'ultimo termine dipendono solo da r, gli altri due solo da e da : quindi l'equazione si spezza nelle due
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Cerchiamo di separare la variabile r da e da ponendo
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La prima di queste dà
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la quale permette di calcolare successivamente tutti i polinomi di Legendre a partire da e da .
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Si osservi che, sebbene la u venga a dipendere da tre numeri quantici (n, l, m) i livelli energetici dipendono da due soli di essi, poichè il quanto
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dipendente da e da (cioè la funzione sferica ) è già stato discusso al § 46, essendo comune a tutti i problemi di forze centrali, ci resta da esaminare il
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Ricordiamo anzitutto (v. form. 248) che negli stati in cui l = 0 (stati s) la u non dipende da e da , ma solo da r: si ha dunque una nuvola a
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La condizione di Sommerfeld dà dunque
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L'ultima, essendo costante, ci dà subito
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cioè ritenere p misurato (in unità quantistiche) da l anzichè da k: la (329') dà un'approssimazione un po' migliore della (329), e per k = 1 dà
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(in unità )non da k ma da ossia ovvero . In particolare, per k = 1 dovrebbe risultare p =0 mentre la (329) dà .
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dove i coefficienti dipendono da .
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dA'
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È questa la relazione cercata. Da essa risulta, in particolare, che, col variare di θ da O a 180°, θ' varia da 90° a 0°: quindi, gli elettroni sono
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Per passare da un sistema di assi a un altro sistema si dovrà introdurre una «matrice di trasformazione» (continua) definita da (v. (33))
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da cui
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La prima dà (1) Si ponga mente al fatto espresso da questa formula, che, in presenza del campo magnetico, i momenti non sono più le componenti della
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(1) In questo problema, numeriamo le righe e le colonne delle matrici a partire da 0 anzichè da 1, per conformarci alla convenzione adottata nella
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matrici e hanno diversi da zero solo gli elementi del tipo , (che formano due file oblique,parallele e contigue, da, una parte e dall'altra, alla, diagonale
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Le forze perturbatrici saranno rappresentate da un termine aggiunto all'hamiltoniana, che diverrà : quindi l'operatore corrispondente diventerà
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e l'equazione secolare da risolvere diviene
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Da questa ricaviamo, per
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Supponiamo che per t = 0 lo stato del sistema sia rappresentato da una certa da considerarsi nota, che, sviluppata in serie mediante le , sia
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Da quando comincia ad agire la perturbazione, il detto stato non è più stazionario, e la del sistema nel tempo da 0 a si può scrivere nella forma
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Una seconda circostanza lasciata da parte nei capitoli precedenti è l'esistenza di un momento angolare intrinseco (spin) e di un momento magnetico
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Difatti, la forza viva è , l'energia intrinseca è , quella elettrostatica : l'energia totale è dunque . Per esprimerla mediante le pk, si noti che da
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e magnetico, derivante da un potenziale scalare V e da un potenziale vettoriale A: l'hamiltoniana relativistica è Difatti, la forza viva è
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e la condizione di normalizzazione dà .
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da cui (moltiplicando a destra per )
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da cui si ricava
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Come si vede, può variare entro due intervalli (da a e da a ) separati tra loro: perciò, poichè nella meccanica non quantistica l'energia cinetica
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da cui, sostituendo i valori numerici, si ha tra λ espresso in Å e V espresso in volt la relazione seguente, facile da ricordare:
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dato da
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(1) Indipendentemente da queste, De Broglie aveva dato fin da principio una dimostrazione teorica della (26) basata su considerazioni relativistiche
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Accademia della crusca
